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By Carlos A. Smith, Armando B. Corripio

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A,s + cq, = 0 (2-22) Es conveniente recordar que un polinomio de grado k puede tener hasta k raíces distintas y, como se ve, siempre se puede factorizar de la manera que se muestra en la ecuación (2-21); se observa que, al hacer s igual a cualquiera de las raíces resultantes en uno de los factores (s - r), éste se hace cero, y entonces D(s) = 0. s - r2) (s (2-23) - rk) i A partir de esta ecuación es posible demostrar que la transformada Y(s) se puede expresar como la suma de k fracciones: i 8.

El paso de inversión se puede demostrar mediante el método de la expansión de fracciones parciales, sin embargo, primero se generalizará la ecuación (2-15) para el caso de una ecuación de orden n. Para la ecuación diferencial lineai ordinaria de, orden n con coeficientes constantes I, + a _ d”S’ YU) dt” ” ’ &“--i + . + a,y(t) = d”‘Y(4 4, _ b. I d,,n-, + : , + b(r) ‘ ’ (2-17) i en condiciones iniciales cero. , Y(O) = 0; x(O) = 0 ; 2 dv 2 (0) = 0 ; . ; s (0) = 2 (0) = 0 ; . . ; s 0 (0) = 0 es fácil demostrar que la ecuación de la transformada de Laplace esta dada por Y(s)!

La función x(f) se conoce generalmente como ,‘ ‘función de forzamiento” o variable de entrada, y y(r) como la “función de salida” o variable dependiente; la variable t, tiempo, es la variable independiente. Generalmente, en el diseño de los sistemas de control una ecuación diferencial como la (2-13) representa la,forma en que se relaciona la señal de salida, y(t), con la seÍíal de eutrada, x(t), en un proceso particular. EL ANÁLISIS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Procedimiento de solución por Iq. transformada de Laplace La solución de una ecuación diferencial mediante ~1 uso de la transformada de Laplace implica básicamente tres pasos: Paso 1.

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