By W. Barth, A. Van de Ven (auth.), Prof. Dr. Herbert Popp (eds.)
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Example text
8n] , die f~r gewisse nat[h~llche Zahlen di, w a 0 folgende Bedingungen erf611en: (I) F i s t homogen in (ai,B i) vom Grad d i (i = 1 .... ~8, 13~ + lq~8) = (I1A~ - 1213 )w. h. eine sinnvolle Form auf dem n-fachen Produkt ~i x "'~PI ist, die zwei/e Bedingung besagt die Invarianz un/er der Gruppe GL2(k) bis auf einen lineamen Charakter dieser Gruppe - de/notwendig die Form (det) w hat. Die Gleichung (2) ~s/ ~quivalent zur Konjunk/ion folgender Teilgleichungen: (2a) F is/ homogen in ~ und in ~, jeweils vom Grad w: F(~,~6) = F(~, ~B) = ~w.
Die deflnierenden Relationen fGr R = k[Pij ] PisPjt - PitPjs = PijPst lauten (i~ i< j < s < t~ n) 52 Folserun~ 2: R ist der Ring der Invarianten bei der in (2) dargestellten Operation der SL2(k) auf dem Polynomring k [ ~ , 8 ] . R ist faktoriell. Ffir jeden Ring k gilt Rd(k) : Rd(K) ® k Insbesondere sind alle Invarianten in Charakteristik , R(k) in Charakteristik : R(~) ® k p Reduktion yon solchen O. Beweis: Die Operation von SL2(k) auf k [ £ , ~ ] R der Invariantenring erh~it die (ei,6i)-Graduierung, nach Definition der R d.
_ n-2 " ~ i=2 [n-i / (w+i)2 wodurch nochmals R als Ring der Dimension 2n-3 erkannt ist. [ IO] oder [ 18] , Lemma i) analog zu Hilbert Folgemung 2: k[ ct] Der Invaz,iantermlng R = k[Pij ] i s t ganz ~bem dem Polynomring vom Gmad (2n - W)! (n-2)! Die Dimension yon R d ist nicht ganz so leicht wie (7) berechenbar. Nach dem oben Gesagten ist dimkTd(a,b) der Koeffizient von za i m Polynom n d. +z l) i=l = (l_z)-n n l+d. I ~ (1-z I) i=l also is% dimkR d nach Folgerung 1 der Koeffizient von zw in 57 (8) Yd(Z) : • (l-z) l-n - - die charakteNistische n di d wobei _%': = T ~ t i i=l n l+d.