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By Kurt-Ulrich Witt

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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Ebenso gilt, wenn ein Element invertierbar ist, dann existiert genau ein Inverses. h. es gilt immer (a ) = a f¨ur invertierbare Elemente a. Im folgenden Satz zeigen wir, dass diese und weitere Eigenschaften nicht nur f¨ur die bisherigen Beispiele zutreffen, sondern generell auf alle Gruppen. 1 Sei G = (M, ∗) eine Gruppe mit Einselement e, dann gilt f¨ur alle a, b, c ∈ G: a) e ist eindeutig; −1 b) zu a ist a −1 −1 c) (a ) ¨ Kurzungsregel eindeutig; = a; d) die K¨urzungsregel: aus a ∗ c = b ∗ c folgt a = b bzw.

Schreibweise: [G : U ] = r. Es gilt also |G| = [G : U ] · |U |, anders formuliert ordG = [G : U ] · ordG . U (6) F¨ur die trivialen Untergruppen U = {e} und U = G gilt [G : {e}] = |G| bzw. h. ordG |G| = ≥ |U | = ordG U 2 2 Beweis (1) Wenn a = b ist, folgt aU = bU . Es sei also a = b. h. es gibt mindestens ein c ∈ aU ∩ bU . Wir betrachten zwei F¨alle: (i) Es gibt x ∈ U mit c = ax und c = bx. (ii) Es gibt x, y ∈ U , x = y, mit c = ax und c = by. Zu (i): Aus c = ax und c = bx folgt ax = bx und daraus a = b, ein Widerspruch zur Voraussetzung a = b.

Wir k¨onnen die Verkn¨upfung ∗ als Abbildung ∗ : M × M → M auffassen; Abgeschlossenheit bedeutet, dass ∗ total definiert ist. 3 (1) Uberlegen Sie, dass f¨ur alle oben erw¨ahnten Beispiele die Abgeschlossenheit gegeben ist! (2) Ist die Menge der geraden ganzen Zahlen abgeschlossen gegen¨uber Addition? (3) Ist die Menge der ungeraden ganzen Zahlen abgeschlossen gegen¨uber Addition? 2 Definitionen und Beispiele Mithilfe der oben bei den Beispielen betrachteten Eigenschaften f¨uhren wir nun die ersten Bezeichnungen f¨ur algebraische Strukturen ein.

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